25 November 1996

THE EXISTENCE OF SYMMETRIC DESIGNS WITH PARAMETERS (105,40,15)

Zvonimir Janko, Heidelberg (Germany)

Since 1984 I was searching for a possible existence of such designs(of order 25). Finally, the following result was proved:

THEOREM. Suppose that a group G=F20 X Z5 (a direct product of a Frobenius group F20 of order 20 with a cyclic group Z5 of order 5) acts on a symmetric design with parameters (105,40,15) such that the following conditions are satisfied:

a) Z5 has exactly 5 fixed points,
b) An element of order 5 in F20 acts fixed-point-free,
c) An element of order 4 has exacly 1 fixed point and
d) An involution has exactly 21 fixed points.

Then there exist up to isomorphism and duality exactly two such designs D1 and D2 and both are non-self-dual (but they are not dual of each other!). Hence there exist up to isomorphism exactly four such designs.

The full automorphism group of D1 and D2 is G=F20 X Z5 of order 100 and acts in 3 orbits of lengths 5, 50, 50 for points and blocks. (The 2-rank of both designs is of course 104).

In the forthcoming paper (with the same title) the systematic search (which lasted 12 years!) will be described. Also the above theorem will be proved together with the explicit construction of the designs D1 and D2.

Design D1 for (105,40,15) (non-self-dual):

1 7 11 14 18 20 23 25 26 29 31 32 35 38 44 45 49 50 53 59 61 62 65 66 67 68 71 72 73 76 77 80 82 85 87 89 90 102 104 105

1 8 12 15 16 19 21 24 27 30 31 32 33 39 41 45 46 50 54 60 61 62 63 67 68 69 72 73 74 76 77 78 81 83 86 88 90 101 103 105

1 9 11 13 17 20 22 25 26 28 32 33 34 40 41 42 46 47 55 56 62 63 64 68 69 70 73 74 75 77 78 79 82 84 86 87 89 101 102 104

1 10 12 14 16 18 21 23 27 29 33 34 35 36 42 43 47 48 51 57 63 64 65 66 69 70 71 74 75 78 79 80 83 85 87 88 90 102 103 105

1 6 13 15 17 19 22 24 28 30 31 34 35 37 43 44 48 49 52 58 61 64 65 66 67 70 71 72 75 76 79 80 81 84 86 88 89 101 103 104

2 6 9 12 16 19 23 25 28 30 33 36 37 40 43 49 50 54 55 56 57 60 64 66 67 70 71 72 73 76 77 78 82 84 85 87 90 92 94 95

2 7 10 13 17 20 21 24 26 29 34 36 37 38 44 46 50 51 55 56 57 58 65 66 67 68 72 73 74 77 78 79 81 83 85 86 88 91 93 95

2 6 8 14 16 18 22 25 27 30 35 37 38 39 45 46 47 51 52 57 58 59 61 67 68 69 73 74 75 78 79 80 81 82 84 87 89 91 92 94

2 7 9 15 17 19 21 23 26 28 31 38 39 40 41 47 48 52 53 58 59 60 62 68 69 70 71 74 75 76 79 80 82 83 85 88 90 92 93 95

2 8 10 11 18 20 22 24 27 29 32 36 39 40 42 48 49 53 54 56 59 60 63 66 69 70 71 72 75 76 77 80 81 83 84 86 89 91 93 94

3 8 10 11 14 17 21 24 28 30 34 35 38 41 42 45 48 54 55 56 57 58 61 62 65 69 71 72 75 76 77 78 87 89 90 92 95 97 99 100

3 6 9 12 15 18 22 25 26 29 31 35 39 41 42 43 49 51 55 57 58 59 61 62 63 70 71 72 73 77 78 79 86 88 90 91 93 96 98 100

3 7 10 11 13 19 21 23 27 30 31 32 40 42 43 44 50 51 52 58 59 60 62 63 64 66 72 73 74 78 79 80 86 87 89 92 94 96 97 99

3 6 8 12 14 20 22 24 26 28 32 33 36 43 44 45 46 52 53 56 59 60 63 64 65 67 73 74 75 76 79 80 87 88 90 93 95 97 98 100

3 7 9 13 15 16 23 25 27 29 33 34 37 41 44 45 47 53 54 56 57 60 61 64 65 68 71 74 75 76 77 80 86 88 89 91 94 96 98 99

4 8 10 13 15 16 19 22 26 29 34 35 39 40 43 46 47 50 53 56 57 58 61 62 63 66 67 70 74 76 77 80 92 94 95 97 100 102 104 105

4 6 9 11 14 17 20 23 27 30 31 35 36 40 44 46 47 48 54 57 58 59 62 63 64 66 67 68 75 76 77 78 91 93 95 96 98 101 103 105

4 7 10 12 15 16 18 24 26 28 31 32 36 37 45 47 48 49 55 58 59 60 63 64 65 67 68 69 71 77 78 79 91 92 94 97 99 101 102 104

4 6 8 11 13 17 19 25 27 29 32 33 37 38 41 48 49 50 51 56 59 60 61 64 65 68 69 70 72 78 79 80 92 93 95 98 100 102 103 105

4 7 9 12 14 18 20 21 28 30 33 34 38 39 42 46 49 50 52 56 57 60 61 62 65 66 69 70 73 76 79 80 91 93 94 96 99 101 103 104

5 6 9 13 15 18 20 21 24 27 33 39 40 44 45 48 51 52 55 56 57 60 61 62 63 66 67 68 71 72 75 79 82 84 85 97 99 100 102 105

5 7 10 11 14 16 19 22 25 28 34 36 40 41 45 49 51 52 53 56 57 58 62 63 64 67 68 69 71 72 73 80 81 83 85 96 98 100 101 103

5 6 8 12 15 17 20 21 23 29 35 36 37 41 42 50 52 53 54 57 58 59 63 64 65 68 69 70 72 73 74 76 81 82 84 96 97 99 102 104

5 7 9 11 13 16 18 22 24 30 31 37 38 42 43 46 53 54 55 58 59 60 61 64 65 66 69 70 73 74 75 77 82 83 85 97 98 100 103 105

5 8 10 12 14 17 19 23 25 26 32 38 39 43 44 47 51 54 55 56 59 60 61 62 65 66 67 70 71 74 75 78 81 83 84 96 98 99 101 104

1 6 7 10 14 15 18 23 29 30 32 38 40 41 44 46 49 53 55 57 60 67 69 70 72 74 75 84 86 87 88 91 92 95 96 97 100 101 102 103

1 6 7 8 11 15 19 24 26 30 33 36 39 42 45 47 50 51 54 56 58 66 68 70 71 73 75 85 87 88 89 91 92 93 96 97 98 102 103 104

1 7 8 9 11 12 20 25 26 27 34 37 40 41 43 46 48 52 55 57 59 66 67 69 71 72 74 81 88 89 90 92 93 94 97 98 99 103 104 105

1 8 9 10 12 13 16 21 27 28 35 36 38 42 44 47 49 51 53 58 60 67 68 70 72 73 75 82 86 89 90 93 94 95 98 99 100 101 104 105

1 6 9 10 13 14 17 22 28 29 31 37 39 43 45 48 50 52 54 56 59 66 68 69 71 73 74 83 86 87 90 91 94 95 96 99 100 101 102 105

2 9 10 11 12 15 19 20 23 28 33 35 37 43 45 46 49 51 54 62 65 72 74 75 77 79 80 81 82 83 89 91 92 93 96 97 100 101 102 105

2 6 10 11 12 13 16 20 24 29 31 34 38 41 44 47 50 52 55 61 63 71 73 75 76 78 80 82 83 84 90 92 93 94 96 97 98 101 102 103

2 6 7 12 13 14 16 17 25 30 32 35 39 42 45 46 48 51 53 62 64 71 72 74 76 77 79 83 84 85 86 93 94 95 97 98 99 102 103 104

2 7 8 13 14 15 17 18 21 26 31 33 40 41 43 47 49 52 54 63 65 72 73 75 77 78 80 81 84 85 87 91 94 95 98 99 100 103 104 105

2 8 9 11 14 15 18 19 22 27 32 34 36 42 44 48 50 53 55 61 64 71 73 74 76 78 79 81 82 85 88 91 92 95 96 99 100 101 104 105

3 8 14 15 16 17 20 24 25 28 31 34 38 40 42 48 50 51 54 57 59 60 67 70 77 79 80 81 82 85 86 87 88 94 96 97 98 101 102 105

3 9 11 15 16 17 18 21 25 29 32 35 36 39 43 46 49 52 55 56 58 60 66 68 76 78 80 81 82 83 87 88 89 95 97 98 99 101 102 103

3 10 11 12 17 18 19 21 22 30 31 33 37 40 44 47 50 51 53 56 57 59 67 69 76 77 79 82 83 84 88 89 90 91 98 99 100 102 103 104

3 6 12 13 18 19 20 22 23 26 32 34 36 38 45 46 48 52 54 57 58 60 68 70 77 78 80 83 84 85 86 89 90 92 96 99 100 103 104 105

3 7 13 14 16 19 20 23 24 27 33 35 37 39 41 47 49 53 55 56 58 59 66 69 76 78 79 81 84 85 86 87 90 93 96 97 100 101 104 105

4 8 13 19 20 21 22 25 29 30 31 34 36 39 43 45 47 53 55 57 59 60 62 64 65 72 75 81 82 85 86 87 90 91 92 93 99 101 102 103

4 9 14 16 20 21 22 23 26 30 32 35 37 40 41 44 48 51 54 56 58 60 61 63 65 71 73 81 82 83 86 87 88 92 93 94 100 102 103 104

4 10 15 16 17 22 23 24 26 27 31 33 36 38 42 45 49 52 55 56 57 59 61 62 64 72 74 82 83 84 87 88 89 93 94 95 96 103 104 105

4 6 11 17 18 23 24 25 27 28 32 34 37 39 41 43 50 51 53 57 58 60 62 63 65 73 75 83 84 85 88 89 90 91 94 95 97 101 104 105

4 7 12 18 19 21 24 25 28 29 33 35 38 40 42 44 46 52 54 56 58 59 61 63 64 71 74 81 84 85 86 89 90 91 92 95 98 101 102 105

5 9 10 13 18 24 25 26 27 30 33 35 36 39 41 44 48 50 52 62 64 65 67 69 70 77 80 81 82 83 86 87 90 91 92 95 96 97 98 104

5 6 10 14 19 21 25 26 27 28 31 34 37 40 42 45 46 49 53 61 63 65 66 68 70 76 78 82 83 84 86 87 88 91 92 93 97 98 99 105

5 6 7 15 20 21 22 27 28 29 32 35 36 38 41 43 47 50 54 61 62 64 66 67 69 77 79 83 84 85 87 88 89 92 93 94 98 99 100 101

5 7 8 11 16 22 23 28 29 30 31 33 37 39 42 44 46 48 55 62 63 65 67 68 70 78 80 81 84 85 88 89 90 93 94 95 96 99 100 102

5 8 9 12 17 23 24 26 29 30 32 34 38 40 43 45 47 49 51 61 63 64 66 68 69 76 79 81 82 85 86 89 90 91 94 95 96 97 100 103

1 3 4 6 7 9 10 13 14 17 18 22 23 28 29 31 33 34 36 39 51 54 60 61 63 67 69 72 74 76 78 81 82 85 89 92 93 97 98 104

1 3 4 6 7 8 10 14 15 18 19 23 24 29 30 32 34 35 37 40 52 55 56 62 64 68 70 73 75 77 79 81 82 83 90 93 94 98 99 105

1 3 4 6 7 8 9 11 15 19 20 24 25 26 30 31 33 35 36 38 51 53 57 63 65 66 69 71 74 78 80 82 83 84 86 94 95 99 100 101

1 3 4 7 8 9 10 11 12 16 20 21 25 26 27 31 32 34 37 39 52 54 58 61 64 67 70 72 75 76 79 83 84 85 87 91 95 96 100 102

1 3 4 6 8 9 10 12 13 16 17 21 22 27 28 32 33 35 38 40 53 55 59 62 65 66 68 71 73 77 80 81 84 85 88 91 92 96 97 103

2 4 5 8 9 11 12 14 15 18 19 22 23 27 28 31 34 36 38 39 41 44 56 58 65 66 68 72 74 77 79 84 86 87 90 94 97 98 102 103

2 4 5 9 10 11 12 13 15 19 20 23 24 28 29 32 35 37 39 40 42 45 57 59 61 67 69 73 75 78 80 85 86 87 88 95 98 99 103 104

2 4 5 6 10 11 12 13 14 16 20 24 25 29 30 31 33 36 38 40 41 43 58 60 62 68 70 71 74 76 79 81 87 88 89 91 99 100 104 105

2 4 5 6 7 12 13 14 15 16 17 21 25 26 30 32 34 36 37 39 42 44 56 59 63 66 69 72 75 77 80 82 88 89 90 92 96 100 101 105

2 4 5 7 8 11 13 14 15 17 18 21 22 26 27 33 35 37 38 40 43 45 57 60 64 67 70 71 73 76 78 83 86 89 90 93 96 97 101 102

1 3 5 7 8 13 14 16 17 19 20 23 24 27 28 36 39 41 43 44 46 49 57 59 61 63 70 71 73 77 79 82 83 89 91 92 95 99 102 103

1 3 5 8 9 14 15 16 17 18 20 24 25 28 29 37 40 42 44 45 47 50 58 60 62 64 66 72 74 78 80 83 84 90 91 92 93 100 103 104

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Design D2 for (105,40,15) (non-self-dual):

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