March 15, 1997 THE EXISTENCE OF SYMMETRIC DESIGNS WITH PARAMETERS (189,48,12) Zvonimir Janko, Heidelberg (Germany) Since 1994 I was searching for a possible existence of such designs (of order 36). Finally, the following result was proved: THEOREM. Let G be the wreathed product of a Frobenius group F21 of order 21 with a cyclic group Z2 of order 2. Suppose that G acts as an automorphism group on a symmetric design with parameters (189,48,12). Then there exits (up to isomorphism) exactly one such design D (and so D is self-dual). The full automorphism group of D is our group G (and so has the order 882) and acts in three orbits of lengths 21, 21 and 147 for points and blocks. The group G has three conjugacy classes of subgroups of order 7. The elements of order 7 in one class act fixed-point-free and in other two classes have exactly 7 fixed points each. The group G has three conjugacy classes of elements of order 3. The elements of order 3 in one class act fixed-point-free and in other two classes have exactly 3 and 6 fixed points respectively. An involution in G has exactly 29 fixed points. The 2-rank of D is 63. In the forthcoming paper (with the same title) we prove this theorem together with the explicit constructin of the design D. DESIGN D (self-dual): 2 3 4 5 6 7 44 57 76 74 77 78 55 49 50 67 79 73 88 91 94 107 134 132 135 103 120 97 110 100 117 129 131 139 144 157 173 187 151 168 179 145 158 182 150 167 170 185 3 4 5 6 7 1 45 58 85 83 86 54 71 43 56 62 63 64 65 66 95 108 124 138 102 119 130 98 99 116 128 122 137 140 145 158 182 150 167 170 185 146 159 149 166 178 180 188 4 5 6 7 1 2 46 59 75 89 53 70 81 44 57 76 74 77 78 55 96 109 133 101 118 121 136 92 105 111 112 113 114 115 146 159 149 166 178 180 188 147 148 165 177 171 186 189 5 6 7 1 2 3 47 60 84 52 69 72 87 45 58 85 83 86 54 71 97 110 100 117 129 131 139 93 106 125 123 126 127 104 147 148 165 177 171 186 189 141 154 160 161 162 163 164 6 7 1 2 3 4 48 61 51 68 80 82 90 46 59 75 89 53 70 81 98 99 116 128 122 137 140 94 107 134 132 135 103 120 141 154 160 161 162 163 164 142 155 174 172 175 176 153 7 1 2 3 4 5 49 50 67 79 73 88 91 47 60 84 52 69 72 87 92 105 111 112 113 114 115 95 108 124 138 102 119 130 142 155 174 172 175 176 153 143 156 183 181 184 152 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